El número π es una constante matemática que es la relación de un círculo 's circunferencia a su diámetro . La constante, a veces escrito pi , es aproximadamente igual a 3,14159. Se ha representado por la letra griega " π ", ya que a mediados del siglo 18. π es un número irracional , lo que significa que no se pueden expresar exactamente como cociente de dos números enteros (por ejemplo, 22/7 u otras fracciones que son comunes utilizado para aproximar π ) y, en consecuencia, su representación decimal nunca termina y nunca se repite . Es un número trascendental  - un número que no puede ser producido con una secuencia finita de operaciones algebraicas (sumas, productos, potencias y raíces). La trascendencia de π implica que es imposible resolver el problema antiguo de la cuadratura del círculo con un compás y una regla. Los dígitos de la representación decimal de π parecen ser al azar , aunque no hay pruebas de esta supuesta aleatoriedad se ha descubierto todavía.

π se define comúnmente como la relación de un círculo 's circunferencia C a su diámetro d 

El símbolo utilizado por los matemáticos para representar la relación de la circunferencia de un círculo y su diámetro es la letra griega π . Esa carta (y por lo tanto, el número π en sí mismo) puede ser denotado por la palabra latina pi  En Inglés, π se pronuncia como "pastel" ( / p a ɪ / , / paɪ / ).  El menor de los casos carta de π (π o en sans-serif tipo de letra) no debe ser confundido con la letra mayúscula Π , lo que denota un producto de una secuencia .

π es un número irracional , lo que significa que no se puede escribir como el cociente de dos números enteros , como 22/7 o de otras fracciones que se utilizan comúnmente para aproximar π .  Desde π es irracional, que tiene un número infinito de dígitos en su representación decimal , y no termina con una infinitamente patrón de repetición de dígitos. Hay varias pruebas que π es irracional , sino que generalmente requieren el cálculo y se basan en la reductio ad absurdum técnica. El grado en que π se puede aproximar por números racionales (llamada la medida irracionalidad ) no se conoce con precisión; estimaciones han demostrado que la medida irracionalidad es mayor que la medida de correo o ln, pero menor que la medida denúmeros Liouville . 

Al igual que todos los números irracionales, π no se puede representar como una fracción simple. Sin embargo, todos los números irracionales, incluyendo π , puede ser representada por una serie infinita de fracciones anidadas, llamada fracción continua :

El primer algoritmo registrado en rigor calcular el valor de π era un enfoque geométrico usando polígonos, concebidas alrededor de 250 aC por el matemático griego Arquímedes . Este algoritmo poligonal dominado durante más de 1.000 años, y como resultado π se refiere a veces como "Arquímedes" constante 

El cálculo de π fue revolucionada por el desarrollo de series infinitas técnicas en los siglos 16 y 17. Una serie infinita es la suma de los términos de una infinita secuencia

-La primera secuencia infinita descubierto en Europa era un producto infinito (en lugar de una suma infinita , que son más típicamente utilizado en ¸cálculos) encontrado por el matemático francés François Viète en 1593.

Para los cálculos numéricos que implican la mayoría de π , un puñado de cifras proporcionan la suficiente precisión.Según Jörg Arndt y Haenel Christoph, treinta y nueve dígitos son suficientes para realizar la mayoría cosmológicascálculos, porque esa es la precisión necesaria para calcular el volumen del universo con una precisión de un átomo.  A pesar de esto, la gente ha trabajado arduamente para calcular π a miles y millones de dígitos.

Una ocurrencia de π en el conjunto de Mandelbrot fractal fue descubierto por el estadounidense David Boll en 1991.  Se examinó el comportamiento del conjunto de Mandelbrot, cerca del "cuello" en (- .75, 0). Si los puntos de coordenadas (- .75, ε) se consideran a continuación, como ε tiende a cero, el número de iteraciones hasta el punto de divergencia para multiplicado por converge ε a π . El punto (0,25, ε) en la cúspide de la gran "valle" en el lado derecho del conjunto de Mandelbrot se comporta de manera similar: el número de iteraciones hasta que la divergencia multiplicado por la raíz cuadrada de ε tiende a π .